La naturaleza es curiosa y hoy en día seguimos sin comprenderla del todo. Existen multitud de fenómenos llamativos y hoy os voy a hablar de uno que a mi parecer es cuanto menos interesante: la sucesión de Fibonacci, pero antes de poder ahondar un poco, ¿qué es una sucesión?
Una sucesión es como su propio nombre indica, una secuencia generalmente de números organizada que suele seguir un patrón. Por ejemplo podemos tener una simple sucesión que consista en ir sumando de tres en tres y quedaría tal que así: 1, 4, 7, 10, 13, 16… y así hasta el infinito. Podemos encontrar sucesiones más interesantes que tenga algún significado como la triangular, que se obtendría con el número de puntos necesarios para hacer un triángulo en cada caso, como se puede apreciar en la imagen: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45…
Ahora que ya sabemos lo que es una sucesión podemos fijarnos en una de las más especiales de todas, la Sucesión de Fibonacci.
Esta sucesión se construye sumando siempre los dos números anteriores de la sucesión: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89…
¿Qué tiene de especial esta sucesión? Está presente en la naturaleza en diferentes aspectos, por ejemplo en el crecimiento de la población de animales como los conejos, en algunas plantas (el trébol de 4 hojas es difícil de encontrar ya que ese número no sale en la sucesión) o incluso en la anatomía humana. Además, es algo intrínsecamente bello para nosotros y de ahí que aparezca en cuadros, pinturas y obras famosas y, cómo no, también lo encontramos en la música. Vamos a ver algunos ejemplos de cómo aparecen estos números en la música.
Una escala musical está compuesta por 8 notas.
En una octava en total hay 13 notas. En un piano 8 de estas notas son teclas blancas y 5 teclas negras. Las frases musicales suelen constar de 8 compases.
Esta secuencia también ha sido aplicada por muchos compositores de diversas maneras:
La canción Lateralus de Tools aplica esta secuencia en el número de sílabas por frase en la letra de la canción:
Black (1)
Then (1)
White-are (2)
All-I-see (3)
In-my-in-fan-cy (5)
Red-and-ye-llow-then-came-to-be (8)
Rea-ching-out-to-me (5)
Lets-me-see (3)
As-be-low-so-a-bove-and-be-yond-I-i-ma-gine (13)
Drawn-be-yond-the-lines-of-rea-son (8)
Push-the-en-ve-lope (5)
Watch-it-bend (3)
Además esta sucesión cumple una curiosa propiedad, si dividimos cualquier número de la sucesión por su anterior nos vamos acercando a un número con infinitos decimales, cuanto más grande es el número que elegimos de la sucesión, mayor precisión obtenemos:
Si cogemos un número bajo de la sucesión por ejemplo el 3 obtenemos 3/2 = 1,5.
En cambio si elegimos un número un poco más grande como el 21 tendríamos 21/13 = 1,6154 y ahora con el 89 por ejemplo 89/55 = 1,61818. ¡Vamos obteniendo el mismo número pero cada vez con mayor precisión! A ese número concreto se le llama número áureo o de oro y con él podemos construir segmentos o incluso espirales especiales.
Éste número tiene una gran capacidad estética y podemos encontrar ejemplos en:
Pintura:
Arquitectura:
La Gran Pirámide de Keops, una de las siete maravillas del mundo antiguo, mide 146 metros de alto originalmente y tiene una base de 230 metros. Si dividimos la base entre la altura: 230/146 = 1,58 que es un valor extremadamente cercano al número áureo, y teniendo en cuenta que se tratan de medidas colosales. ¿Creen que se trata de una casualidad?
Pero centrémonos en la música, donde también podemos encontrar este curioso número:
Digamos que en música mayoritariamente podemos encontrarlo de dos maneras, o bien dividiendo la obra en dos segmentos, uno de extensión 0,618 y el restante de 0, 382. La otra más común sería asignarle a cada número una nota e ir recorriendo toda la sucesión.
Bela Bártok usó adrede ambos conceptos por ejemplo en la Sonata para dos pianos y Percusión.
El primer movimiento dura exactamente el 61,8% de la obra completa. Puede parecer a priori mera coincidencia, pero sigamos hablando de la misma obra, esta vez comparando el tema del primer movimiento con el del tercero. En el primer movimiento, el tema principal va haciendo intervalos de semitonos siguiendo el patrón de 1, 3, 5, 8 en relación a las notas de la armonía. Aquí ya podemos ir viendo que es una clara referencia e ir descartando que se trate de nuevo de una casualidad. Además, en el último movimiento, Bártok transporta estos intervalos a otra tonalidad y de esta manera, sigue manteniendo un estrecho lazo, quizás no tan fácil de ver, con la Sucesión con la que tal vez se sintió fascinado. Y finalmente, yendo más allá, el segundo movimiento consta de 377 compases, que aplicando el número áureo obtenemos 233, compás en el que curiosamente ocurre el evento más ‘trascendente’ del movimiento.
Algunas sonatas de Mozart, por ejemplo la sonata para piano K. 279. Cuyo primer movimiento tiene exactamente 100 compases y está dividido en dos claras secciones, la primera que dura 38 compases y la segunda los 62 restantes, concordando así con la proporción áurea.
También se ha estudiado la aparición de esta proporción en algunas de las obras más famosas de todos los tiempos, como la Quinta Sinfonía de Beethoven en la que se han encontrado indicios claros de su aparición.
Nunca sabremos si era la verdadera intención de Beethoven o si fue el azar, o tal vez simplemente sintiera que era como debía ser, pero la realidad es que la proporción está presente en multitud de obras, no solo musicales, sino culturales.
Luis Hernández Chirlaque.
